Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1;2). Đường cao CH có phương trình \(x-y+1=0\\\), đường phân giác trong BN có phương trình \(2x+y+5=0\). Viết phương trình cạnh BC.
Trong mặt phẳng Oxy, cho △ABC có đường phân giác trong AD: x-y=0, đường cao CH: 2x+y+3=0, cạnh AC qua M(0;-1) AB=2AM. Viết phương trình các cạnh của △ABC
Phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc AD có dạng:
\(1\left(x-0\right)+1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+y+1=0\)
Gọi \(M_1\) là giao điểm d và AD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x+y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M_1\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)
Gọi \(M'\) là điểm đối xứng M qua AD \(\Rightarrow M'\in AB\)
\(M_1\) là trung điểm MM' \(\Rightarrow M'\left(-1;0\right)\)
Phương trình AB vuông góc CH và qua M' có dạng:
\(1\left(x+1\right)-2y=0\Leftrightarrow x-2y+1=0\)
A là giao điểm AD và AB nên tọa độ thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(1;1\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MA}=\left(1;2\right)\Rightarrow\) đường thẳng AC nhận (2;-1) là 1 vtpt
Phương trình AC: \(2\left(x-1\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-1=0\)
C là giao điểm AC và CH nên tọa độ thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\2x+y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C...\)
Do B thuộc AB nên tọa độ thỏa mãn: \(B\left(2b-1;b\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(2b-2;b-1\right)\)
\(AM=\sqrt{5}\Rightarrow AB=2\sqrt{5}\Rightarrow\left(2b-2\right)^2+\left(b-1\right)^2=\left(2\sqrt{5}\right)^2\)
\(\Rightarrow\) Tọa độ B \(\Rightarrow\) thay tọa độ B và C vào pt AD để kiểm tra, loại nghiệm cùng dấu
\(\Rightarrow\) Viết pt BC
trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân tại A có phương trình cạnh BC: x-2=0, phương trình cạnh AC: 2x+3y-1=0; và đường thẳng AB đi qua điểm I(-7;-3). Hãy viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC
ta có tọa độ B là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\2x+3y=1\end{cases}\Leftrightarrow B\left(2;-1\right)}\)
Từ I kẻ d' qua I và song song với BC khi đó \(d':x=-7\)
Khi đó d' cắt AC tại điểm K có tọa độ là \(\hept{\begin{cases}x=-7\\2x+3y=1\end{cases}\Leftrightarrow}K\left(-7;5\right)\), gọi H là trung điểm của BC
khi đó điểm A thuộc trung trực của KI là đường thẳng AH: \(y=1\)Do đó tọa độ A là : \(A\left(-1;1\right)\)
Do đó đường cao từ C có VTPT \(IA=\left(6,4\right)\)nên đường cao từ C là : \(3x+2y-4=0\)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua điểm M (0;-1). Biết AB =2AM, phương trình đường phân giác trong AD : x-y =0, phương trìn đường cao CH: 2x+y+3 =0. Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C.
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I (-1;1). Gọi M nằm trên cạnh CD sao cho MC =2 MD. Tìm tọa độ điểm C biết đường thẳng AM có phương trình 2x-y=0,điểm A có hoành độ dương
trong mặt phảng hệ tạo độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương trình tương ứng là 2x+y=0; x+y-1=0. Hãy viết PT đường thẳng BC.
Qua A kẻ đường thẳng AK vuông góc với tiếp tuyến tại C
Ta có phương trình AK đi qua A và vuông góc với tiếp tuyến tại C:
K là giao điểm của AK và CK giả hệ pt ta suy đc tọa độ điểm K
do CK là tia phân giác của góc C suy ra CKI= tam giác CKA(g.c.g)
suy ra K là trung điểm của AI
mà biết tọa độ A,K suy ra đc tọa độ điểm I
Gọi C(a,b) suy ra ra tọa độ C thỏa mãn pt a+b-1=0(1)
điểm M là trung điểm AC suy ra toạn đội điểm M\(\left(\frac{a+1}{2};\frac{b+2}{2}\right)\)
mà M thuộc trung tuyến AM ta có a+1+\(\frac{b+2}{2}\)=0(2)
từ (1)và (2) suy ra tọa độ điểm C
Ta có tọa độ C và I ta viết được phương trình CI chính là pt cần tìm
1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2; 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x+y+14=0; 2x+5y-2=0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
2.Lập phương trình các cạnh AB, AC của tam giác ABC biết đường tuyến CM có phương trình 2x+y-6=0, A(1; 1) và cạnh BC có phương trình x+y-6=0
Câu 60: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là x - y - 2 = 0 , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là x + 2y - 5 = 0 . Biết trọng tâm của tam giác là điểm G(3; 2) và phương trình đường thẳng chứa cạnh BC có dạng mx + ny + 7 = 0 . Giá trị của biểu thức T = m - n là ...
Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-2=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(3;1\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_G\\y_A+y_B+y_C=3y_G\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) (1)
B thuộc AB nên: \(x_B-y_B=2\Rightarrow x_B=y_B+2\)
C thuộc AC nên: \(x_C+2y_C-5=0\Rightarrow x_C=-2y_C+5\)
Thế vào (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B+2-2y_C+5=6\\y_B+y_C=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_B=3\Rightarrow x_B=5\\y_C=2\Rightarrow x_C=1\end{matrix}\right.\)
Phương trình BC: \(\dfrac{x-5}{1-5}=\dfrac{y-3}{2-3}\Leftrightarrow x-4y+7=0\)
1.
Do A không thuộc hai đường trung tuyến đã cho nên giả sử đường trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là \(2x-y+1=0;x+y-4=0\)
Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\x+y-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\Rightarrow G=\left(1;3\right)\)
Gọi M là trung điểm BC, ta có \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+3=\dfrac{2}{3}\left(x_M+2\right)\\3-3=\dfrac{2}{3}\left(y_M-3\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=4\\y_M=3\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(4;3\right)\)
Gọi \(N=\left(m;2m+1\right)\) là trung điểm AC \(\Rightarrow C=\left(2m+2;4m-1\right)\)
Mà C lại thuộc CG nên \(2m+2+4m-1-4=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow C=\left(3;1\right)\)
Phương trình đường thẳng BC:
\(\dfrac{x-4}{3-4}=\dfrac{y-3}{1-3}\Leftrightarrow2x-y-5=0\)
2.
1.
Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-5y+1=0\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow G=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)
Gọi I là trung điểm BC, ta có \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{3}-1=\dfrac{2}{3}\left(x_I-1\right)\\\dfrac{1}{3}-2=\dfrac{2}{3}\left(y_I-2\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{1}{2}\\y_I=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)
Gọi \(M=\left(5m-1;m\right)\) \(\Rightarrow C=\left(10m-3;2m-2\right)\)
Mà C lại thuộc CN nên \(10m-3+2m-2-1=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow C=\left(2;-1\right)\)
Phương trình đường thẳng BC:
\(\dfrac{x-2}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{y+1}{-1+\dfrac{1}{2}}\Leftrightarrow x+3y+1=0\)
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có \(A(1;3)\) và hai đường trung tuyến xuất phát từ B,C lần lượt có phương trình \(y-1=0\) và \(x-2y+1=0\)
a) Viết phương trình đường tròn đường kính OA
b) Viết phương trình 3 đường thẳng chứa 3 cạnh của tam giác ABC
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có \(A(-1;-3)\), đương trung trực của cạnh AB có phương trình \(3x+2y-4=0\), trọng tâm\(G(4;-2)\)
a) Viết PTTS,TQ của đt chứa cạnh AB của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh BC tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm B,C của tam giác ABC
Câu 3:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh \(A(3;0)\) và phương trình 2 đường cao \((BB'):2x+2y-9-0\) và \((CC'):3x-12y-1=0\)
a) Viết PTTQ cuả các đt lần lượt chứa các cạnh AB,AC của tam giác ABC
bTìm tọa độ điểm B,C và viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC
Câu 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có pt:\(x^2+16y^2=16\). Tìm tọa độ có đỉnh, tiêu diểm độ dài trục lớn, trục bé của elip (E)
1.
\(\overrightarrow{OA}=\left(1;3\right)\Rightarrow OA=\sqrt{10}\)
Gọi I là trung điểm OA \(\Rightarrow I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)
Phương trình đường tròn đường kính OA nhận I là trung điểm và có bán kính \(R=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\):
\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{2}\)
b.
Gọi 2 trung tuyến là BN và CM (với M, N là trung điểm AB và AC)
B thuộc BN nên tọa độ có dạng: \(\left(b;1\right)\)
M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(\dfrac{b+1}{2};2\right)\)
M thuộc CM nên tọa độ thỏa mãn:
\(\dfrac{b+1}{2}-4+1=0\Rightarrow b=5\Rightarrow B\left(5;1\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)\Rightarrow\) pt AB: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=3-t\end{matrix}\right.\)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\) G là giao điểm BN và CM
Tọa độ G thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(1;1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=-3\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-3;-1\right)\)
Biết tọa độ C, A, B bạn tự viết pt 2 cạnh còn lại
2.
AB vuông góc với trung trực của AB nên nhận (2;-3) là 1 vtpt và (3;2) là 1 vtcp
Phương trình tham số:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=-3+2t\end{matrix}\right.\)
Phương trình tổng quát:
\(2\left(x+1\right)-3\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow2x-3y-7=0\)
b. Câu này tìm trung điểm của AB hay BC nhỉ? Ta chỉ có thể tìm được trung điểm BC sau khi hoàn thành câu c (nghĩa là thứ tự bài toán bị ngược)
Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow\) tọa độ N thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y-7=0\\3x+2y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(2;-1\right)\)
N là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_N-x_A=5\\y_B=2y_N-y_A=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(5;1\right)\)
G là trọng tâm tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=8\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(8;-4\right)\)
\(\Rightarrow M\left(\dfrac{13}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)
Câu 3 đơn giản bạn tự làm (AC vuông góc BB' nên nhận (1;-1) là 1 vtpt, AB vuông góc CC' nên nhận (4;1) là 1 vtpt).
Câu b thì B là giao điểm AB và BB', C là giao điểm AC và CC'
Câu 4.
\(x^2+16y^2=16\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{1}=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow c^2=15\Rightarrow c=\sqrt{15}\)
Các đỉnh có tọa độ lần lượt: \(\left(4;0\right);\left(-4;0\right);\left(0;1\right);\left(0;-1\right)\)
Tiêu điểm: \(F_1\left(-\sqrt{15};0\right);F_2\left(\sqrt{15};0\right)\)
Độ dài trục lớn: \(2a=8\)
Độ dài trục bé: \(2b=2\)